Multiplication de matrices

C’est ici que les difficultés commencent. Cette opération a des propriétés qui peuvent paraître surprenantes…

Précautions

Il faut des tailles compatibles. Pour multiplier une matrice  \(A\) par une matrice  \(B\) (dans cet ordre), il faut que le nombre de colonnes de  \(A\) soit égal au nombre de lignes de \(B\) .

Cas particuliers très utiles

• Produit de deux matrices carrées d’ordre \(n\)  entre elles.
  
• Matrice carrée d’ordre  \(n\) par une matrice colonne de longueur \(n\) .
  
• Matrice ligne de longueur  \(n\) par une matrice carrée d’ordre \(n\) .
  

Pour ne pas s’y perdre, il y a donc une disposition à respecter pour les poser.

Définition

Soit une matrice  \(A\) de taille  \(m\times p\) et une matrice  \(B\) de taille \(p\times n\) . Le produit  \(AB\) est la matrice  \(C\) de taille  \(m\times n\) telle que, pour tous  \(i\in\{1~;...;m\}\) et  \(j\in\{1~;...;n\}\) , on a
\(C_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\) .

Exemple  avec 3 colonnes pour la première matrice et 3 lignes pour la seconde

\(\begin{matrix} & \begin{pmatrix} \qquad1 & \qquad \qquad 3 & \qquad\qquad 1& \qquad\qquad0 \qquad\\ \qquad2 & \qquad\qquad 0 & \qquad \qquad 2& \qquad\qquad4 \qquad\\ \qquad3 & \qquad \qquad 2 & \qquad\qquad 0& \qquad \qquad1 \qquad\\\end{pmatrix} \\\\\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} &\left(\begin{smallmatrix}1\times 1+2\times 2+3\times 3 & \;1\times 3+2\times 0+3\times 2 & \;1\times 1+2\times 2+3\times 0&\;1\times 0+2\times 4+3\times 1\\4\times1+5\times2+6\times3 & \; 4\times3+5\times0+6\times2 & \;4\times1+5\times2+6\times0& \;4\times0+5\times4+6\times1\end{smallmatrix}\right)\end{matrix}\)

Ce qui donne
\(\begin{matrix} & \begin{pmatrix}\;1 &\; 3 &\; 1&\;0\\\;2 &\; 0 &\; 2&\;4\\\;3 &\; 2 &\; 0&\;1\\\end{pmatrix} \\\\\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} &\; \begin{pmatrix}14 & 9 & 5&11\\32 & 24 & 14&26\end{pmatrix}\end{matrix}\)

Donc écrit  de façon plus conventionnelle :

\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\;1 &\; 3 &\; 1&\;0\\\;2 &\; 0 &\; 2&\;4\\\;3 &\; 2 &\; 0&\;1\\\end{pmatrix}=\) \(\begin{pmatrix}14 & 9 & 5&11\\32 & 24 & 14&26\end{pmatrix}\)